Die projektive Ebene/Einführende Beschreibung/Beispiel

Die Punkte in der projektiven Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel ${}(x,y,z)$, wobei nicht alle ${}x,y,z$ gleichzeitig ${}0$ sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich

$D_{+}(X),\,D_{+}(Y){\text{ und }}D_{+}(Z).$

Dabei besteht ${}D_{+}(Z)$ aus allen Punkten, deren dritte Koordinate nicht ${}0$ ist. Durch Multiplikation mit ${}z^{-1}$ kann man diese Punkte mit

${}\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}},\,{\frac {z}{z}}\right)=\left(u,\,v,\,1\right)\,$

identifizieren, sodass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene ${}D_{+}(Z)$ ist die Menge ${}V_{+}(Z)$ der Punkte, wo die dritte Komponente ${}0$ ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist ${}V_{+}(Z)$ eine projektive Gerade. Ein Punkt ${}(x,y,0)$ auf dieser Geraden und der Nullpunkt ${}(0,0,1)$ von ${}D_{+}(Z)$ definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor ${}(x,y)$ (und der homogenen Geradengleichung $yX-xY=0$ bzw. $V_{+}(yX-xY)$). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.