Die projektive Gerade/Einführende Beschreibung/Beispiel

Die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben. Eine solche Gerade ist entweder die ${}x$-Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade ${}V(y-1)$ (also die zur ${}x$-Achse parallele Gerade durch $(0,1)$) in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt ${}P\in V(y-1)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den „unendlich fernen“ Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade ${}G$ durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade ${}L\neq G$, so übernimmt ${}L$ die Rolle der affinen Geraden, und ${}G$ repräsentriert dann einen (von dieser affinen Geraden aus gesehen) unendlich fernen Punkt.