Diedergruppe/Ab D 3/Nicht kommutativ/Aufgabe/Lösung

Wir realisieren die Diedergruppe ${}D_{n}$ als Symmetriegruppe einer Doppelpyramide über einem regelmäßigen ${}n$-Eck in der ${}x-y$-Ebene, wobei ${}(1,0,0)$ ein Eckpunkt sei. Die Drehungen des ${}n$-Ecks sind.

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

mit

${}\alpha ={\frac {k2\pi }{n}}\,$

für

${}k=0,1,2,\ldots ,n-1\,$

und die Halbdrehung um die ${}x$-Achse, die durch

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

beschrieben wird, gehört auch zur Gruppe. Es ist

${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Produkte stimmen genau dann überein, wenn

${}\sin \alpha =-\sin \alpha \,$

ist, was

${}\sin \alpha =0\,,$

also

${}\alpha =0,\pi \,$

bedeutet. Bei ${}n\geq 3$

ist aber nicht jeder Drehwinkel von dieser Form.

Zur gelösten Aufgabe