Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gilt

${}\varphi ^{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\,.$

Da

${}{\frac {\partial \varphi _{i_{0}}}{\partial x_{j}}}=0\,$

ist für alle ${}j\in J$, ist für jedes ${}J$ eine Zeile der Matrix ${}0$, sodass die Determinanten stets ${}0$ sind.

Zur bewiesenen Aussage