Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Produktregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf ${}\mathbb {R} ^{n}$. Wegen der Linearität von ${}d$ und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als ${}\omega =fdx_{I}$ und ${}\tau =gdx_{J}$ mit Indexmengen ${}I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ und ${}J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}$ schreiben. Es gilt dann

${}{\begin{aligned}d(\omega \wedge \tau )&=d{\left(fdx_{I}\wedge gdx_{J}\right)}\\&=d{\left((fg)dx_{I}\wedge dx_{J}\right)}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial (fg)}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\left(g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}+f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}\right)}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}g{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}+\sum _{s=1}^{n}f{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge dx_{J}\\&=\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{I}\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge fdx_{I}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+\sum _{s=1}^{n}(-1)^{k}fdx_{I}\wedge {\frac {\partial g}{\partial x_{s}}}dx_{s}\wedge dx_{J}\\&=d(fdx_{I})\wedge gdx_{J}+(-1)^{k}fdx_{I}\wedge d(gdx_{J}).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe