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Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster
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φ
∗
(
f
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
P
,
e
j
1
∧
…
∧
e
j
k
)
{\displaystyle {}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 1
(
f
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
φ
(
P
)
,
T
P
(
φ
)
(
e
j
1
)
∧
…
∧
T
P
(
φ
)
(
e
j
k
)
)
{\displaystyle {}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 2
f
(
φ
(
P
)
)
(
d
y
1
∧
…
∧
d
y
k
)
(
(
∂
φ
1
∂
x
j
1
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
1
(
P
)
)
∧
…
∧
(
∂
φ
1
∂
x
j
k
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
k
(
P
)
)
)
{\displaystyle {}f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 3
f
(
φ
(
P
)
)
⋅
det
(
(
d
y
i
)
(
∂
φ
1
∂
x
j
ℓ
(
P
)
⋮
∂
φ
m
∂
x
j
ℓ
(
P
)
)
)
1
≤
i
,
ℓ
≤
k
{\displaystyle {}f(\varphi (P))\cdot \det \left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)_{1\leq i,\ell \leq k}}
=
{\displaystyle {}\,=\,}
Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 4
f
(
φ
(
P
)
)
⋅
det
(
∂
φ
i
∂
x
j
ℓ
(
P
)
)
1
≤
i
,
ℓ
≤
k
{\displaystyle {}f(\varphi (P))\cdot \det \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)_{1\leq i,\ell \leq k}}
