die Eigenwerte sind also ± 1 {\displaystyle {}\pm 1} . Ein Eigenvektor zu 1 {\displaystyle {}1} ist ( 1 1 ) {\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}} und ein Eigenvektor zu − 1 {\displaystyle {}-1} ist ( 1 − 1 ) {\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}} . Nach Fakt sind somit e t ( 1 1 ) {\displaystyle {}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}} und e − t ( 1 − 1 ) {\displaystyle {}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}} Basislösungen des Systems.
und
Also bilden auch ( cosh t sinh t ) {\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cosh t\\\sinh t\end{pmatrix}}} und ( sinh t cosh t ) {\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\sinh t\\\cosh t\end{pmatrix}}} ein Fundamentalsystem.
und somit auf a = 9 2 {\displaystyle {}a={\frac {9}{2}}} und b = − 1 2 {\displaystyle {}b=-{\frac {1}{2}}} . Die Lösung des Anfangswertproblemes ist also
gegeben als Linearkombination zum ersten Fundamentalsystem.
Eine lineare Umrechnung ergibt
dies ist die Darstellung im zweiten Fundamentalsystem.