Differentialgleichung/y' ist y/Picard-Lindelöf/Explizite Formel/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die ${}n$ -te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

{}\varphi _{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {t^{k}}{k!}}\,

ist. Dies beweisen wir durch Induktion nach ${}n$ , wobei der Anfang ${}n=0$ klaar ist, da wegen der Anfangsbedingung

{}\varphi _{0}(t)=1\,

ist. Der Induktionsschritt ergibt sich aus

{}{\begin{aligned}\varphi _{n+1}(t)&=1+\int _{0}^{t}\varphi _{n}(s)ds\\&=1+\int _{0}^{t}\sum _{k=0}^{n}{\frac {s^{k}}{k!}}ds\\&=1+\sum _{k=0}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {s^{k}}{k!}}ds\\&=1+\sum _{k=0}^{n}{\frac {s^{k+1}}{(k+1)!}}{|}_{0}^{t}\\&=1+\sum _{k=0}^{n}{\frac {t^{k+1}}{(k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\frac {t^{k}}{k!}}.\end{aligned}}