Differentialgleichung höherer Ordnung/Linear konstant/System/Charakteristisches Polynom/Bemerkung

Es sei

${}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei

${}v'=Mv\,$

das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,.$

Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe gleich

$X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}.$

D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.