Differentialoperator/Algebraisch/Definition

Differentialoperator

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle ${}K$-lineare Abbildungen von ${}R$ nach ${}R$ handelt.

1. Ein Differentialoperator der Ordnung ${}0$ ist die Multiplikationsabbildung

   $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$

   zu einem Element ${}f\in R$.

2. Ein Differentialoperator ${}E$ der Ordnung ${}\leq n$ ist eine lineare Abbildung ${}E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}f\in R$ die Abbildung

   $E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$

   ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n-1$ ist.