Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über . Wenn ein Operator der Ordnung ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation mit einem Element . Somit gilt
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Es sei nun ein Operator der Ordnung und Elemente gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist
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ein Operator der Ordnung und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist
Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei
bedeutet dies
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und es liegt die Multiplikation mit vor, also ein Operator der Ordnung . Es sei nun eine -lineare Abbildung, die die Produktformel für Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung
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die Produktformel für Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung ist, so dass selbst ein Operator der Ordnung ist. Es ist