Differentialoperator/Algebraisch/Nenneraufnahme/Bemerkung

Ein Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ auf einer ${}K$-Algebra ${}R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${}{\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ zu einem multiplikativen System ${}W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von ${}E$ definiert. Für die Ordnung ${}0$ ist

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$

Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung ${}\leq n$ definiert und sei ${}E$ ein Operator der Ordnung ${}\leq n+1$. Dann setzt man

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$

wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.