Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung

{}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},{\tilde {F}}_{1},\ldots ,{\tilde {F}}_{m}\right)},\end{aligned}}

wobei ${}{\tilde {F_{i}}}$ aus ${}F_{i}$ entsteht, indem man ${}X_{j}$ durch ${}{\tilde {X}}_{j}$ ersetzt. Wir setzen

{}A_{j}={\tilde {X_{j}}}-X_{j}\,

an und schreiben den Ring als

{}K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}=R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,,

wobei

{}G_{i}={\tilde {F_{i}}}=F_{i}{\left({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}\right)}=F_{i}{\left(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k}\right)}\,

ist. Betrachte ein Monom ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus einem ${}F$ . In die Gleichung ${}G$ geht dies in der Form

(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}

ein. Ausmultiplizieren ergibt

\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}\,.

Auf das Monom ${}A^{\lambda }$ in ${}G$ bezieht sich also der Term

{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.

Dies stimmt mit

{\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(X^{\nu }\right)}

überein.