Differentialrechnung/Höherdimensional/Hinführung/Textabschnitt

Wir beschäftigen uns nun mit der Differentialrechnung für Abbildungen mit höherdimensionalem Definitionsbereich. Dazu seien reelle endlichdimensionale Vektorräume ${}V$ und ${}W$ gegeben. Ferner sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Diese Abbildung wollen wir „differenzieren“. Anders als in den bisher behandelten Situationen gibt es bei einem höherdimensionalen Definitionsbereich mehrere nicht äquivalente Konzepte von Differenzierbarkeit. Wir werden nacheinander die Richtungsableitung, partielle Ableitungen und das totale Differential sowie ihre Beziehungen untereinander diskutieren. Wir werden durchgehend voraussetzen, dass die Vektorräume endlichdimensional sind und mit einem Skalarprodukt und damit mit einer euklidischen Metrik versehen sind.

Es ist erstmal keine große Einschränkung, wenn man den Zielraum als ${}W=\mathbb {R}$ ansetzt. Als Definitionsmenge kann man sich zunächst auf ${}G=V=\mathbb {R} ^{2}$ beschränken, und sich vorstellen, dass die Abbildung jedem Grundpunkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ einen Höhepunkt zuordnet, so dass die Abbildung insgesamt ein Gebirge über einer Grundfläche beschreibt.