Differenzierbar/D in R/Linear Approximierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}f$ differenzierbar ist, so setzen wir

${}s:=f'(a)\,.$

Für die Funktion ${}r$ muss notwendigerweise

${}r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$

und hat den Wert ${}0$. Dies bedeutet, dass ${}r$ in ${}a$ stetig ist.
Wenn umgekehrt ${}s$ und ${}r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für ${}x\neq a$ die Beziehung

${}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$

Da ${}r$ stetig in ${}a$ ist, muss auch der Limes links für ${}x\rightarrow a$ existieren.

Zur bewiesenen Aussage