Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt

Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei

$f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$

eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$

Es sei ${}f$ in ${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b:=f(a)$ differenzierbar mit

${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen