Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt kann man

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)

und

g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man ${}y$ durch ${}f(x)$ ersetzt)

{}{\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}

Die hier ablesbare Restfunktion

{}t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,

ist stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$ .