Differenzierbare Abbildung/Lokal differenzierbar umkehrbar/Bijektives Differential/Aufgabe

Seien ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${}P\in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${}Q=\varphi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist.

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