Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ ist. Es sei ${}D=\left(D\varphi \right)_{P}$ die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung ${}D^{-1}$. Wir betrachten die Gesamtabbildung

$U_{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V_{2}{\stackrel {D^{-1}}{\longrightarrow }}V_{1}.$

Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist ${}D^{-1}\circ D=\operatorname {Id}$ nach der Kettenregel. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für ${}\varphi$, da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass ${}\varphi$ eine differenzierbare Abbildung mit ${}\varphi (0)=0$ ist, deren totales Differential in ${}0$ die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von ${}\varphi$ in ${}0$, dass der Limes

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (v)-v}{\Vert {v}\Vert }}=0\,$

ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung ${}\psi$ die Beziehung

${}\operatorname {lim} _{w\rightarrow 0}\,{\frac {\psi (w)-w}{\Vert {w}\Vert }}=0\,$

zeigen. Es genügt, dies für jede Folge ${}w_{n}\rightarrow 0$ nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als ${}w_{n}=\varphi (v_{n})$ (mit ${}v_{n}=\psi (w_{n})$) schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von ${}\psi$ konvergiert auch die Folge ${}{\left(v_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$. Also ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\Vert {\psi (w_{n})-w_{n}}\Vert }{\Vert {w_{n}}\Vert }}&={\frac {\Vert {\psi (\varphi (v_{n}))-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {v_{n}-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\varphi (v_{n})-v_{n}}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}.\end{aligned}}$

Wegen ${}\varphi (v)=v+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)$ mit ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,r(v)=0$ gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von ${}0$ derart, dass

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)}\Vert \geq {\frac {1}{2}}\Vert {v}\Vert \,.$

Daher lässt sich die obere Gleichungskette (für ${}n$ hinreichend groß) fortsetzen durch

$\leq 2\cdot {\frac {\Vert {\varphi (v_{n})-v_{n}}\Vert }{\Vert {v_{n}}\Vert }},$

und dies konvergiert gegen ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage