Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Bemerkung

Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt ${}P\in G$, wenn das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei ${}\dim _{}{\left(W\right)}=1$ ist ${}P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\leq \dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\geq \dim _{}{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=\dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität in ${}P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.