Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

Zwei Funktionen und stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

wird unter auf abgebildet, so dass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei und . Es ist zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten und und . Offenbar ist . Die relevanten Werte für sind wegen einfach

Für ergibt sich . Daher ist

so dass ist. Wir behaupten, dass und nicht äquivalent sind. Es ist mit den Ableitungen und daher ist

Für hat man die Ableitungen und daher ist