Differenzierbare Funktion/C nach C/Totales Differential/Zerlegung/2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto \sin \left(xy\right)+{\left(x^{3}-xy^{2}+2y^{4}\right)}{\mathrm {i} }.$

1. Bestimme das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$-antilinearen Anteil.

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