Differenzierbare Funktionen/K/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}f,g\colon D\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen, die beide in ${}a\in D$ differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion ${}f(x)g(x)$ ist ${}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}$ und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ ist. Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}&={\frac {f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}}\\&={\frac {f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}}\\&=f(x){\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}+g(a){\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.\end{aligned}}$

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich ${}g'(a)$ bzw. ${}f'(a)$.

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist der Limes von ${}f(x)$ für ${}x$ gegen ${}a$ gleich ${}f(a)$. Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.

Zur gelösten Aufgabe