Differenzierbare Funktionen/R/Lokales Extremum/Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei

$f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die in ${}c\in {]a,b[}$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist ${}f'(c)=0$.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}f$ ein lokales Maximum in ${}c$ besitzt. Es gibt also ein ${}\epsilon >0$ mit ${}f(x)\leq f(c)$ für alle ${}x\in [c-\epsilon ,c+\epsilon ]$. Es sei ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit ${}c-\epsilon \leq s_{n}<c$, die gegen ${}c$ („von unten“) konvergiere. Dann ist ${}s_{n}-c<0$ und ${}f(s_{n})-f(c)\leq 0$ und somit ist der Differenzenquotient

${}{\frac {f(s_{n})-f(c)}{s_{n}-c}}\geq 0\,,$

was sich dann nach Fakt auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist ${}f'(c)\geq 0$. Für eine Folge ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}c+\epsilon \geq t_{n}>c$ gilt andererseits

${}{\frac {f(t_{n})-f(c)}{t_{n}-c}}\leq 0\,.$

Daher ist auch ${}f'(c)\leq 0$ und somit ist insgesamt ${}f'(c)=0$.

$\Box$

Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto x^{3}$, die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet. Ein hinreichendes Kriterium wird in Fakt gegeben, siehe auch Fakt.