Differenzierbare Kurve/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen.

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine Kurve oder einen Weg in ${}V$. Häufig stellt man sich dabei ${}I$ als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum ${}V$ vor. Jedem Zeitpunkt ${}t\in I$ wird also ein Ortspunkt ${}f(t)\in V$ zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem ${}V$, also ${}V\cong \mathbb {R}$, ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei ${}V\cong \mathbb {R} ^{2}$ ist der Graph eine Teilmenge von ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{3}$. Häufig skizziert man bei einer Kurve bei ${}V=\mathbb {R} ^{2}$ oder ${}V=\mathbb {R} ^{3}$ nur das Bild (man spricht auch von der Bahn oder der Spur der Kurve) der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt.

Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die „Geschwindigkeit“ zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag (oder Norm), sondern auch deren Richtung (die Sprechweisen sind uneinheitlich).

Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}r$, bei der eine volle Kreisumdrehung die Zeit ${}a$ benötigt, die zum Zeitpunkt ${}0$ im Punkt ${}(r,0)$ startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(r\cos {\frac {2\pi }{a}}t,\,r\sin {\frac {2\pi }{a}}t\right),$

beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt ${}t$ tangential an den Ortspunkt auf dem Kreis (und steht senkrecht zum Ortsvektor). Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich.

Die Vorstellung der Momentangeschwindigkeit wird durch den Begriff der differenzierbaren Kurve und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten ${}t<t'$ den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor (die wir den Differenzenquotienten nennen)

${}{\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}\in V\,$

zu betrachten und davon den Limes für ${}t'\mapsto t$ zu bestimmen.