Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$

mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

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