Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Beliebige offene Umgebung/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$) ändert sich der Ausdruck

${\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)$

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall ${}0\in I'\subseteq I$ und einer kleineren offenen Menge ${}P\in U'\subseteq U$ (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in ${}U$ liegen, und dass es für dieses ${}U$ zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

gibt. Dann folgt aus

${}(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort

${}{\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage