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Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt/Beweis
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Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Lokale Beschreibung/Fakt
Beweis
Nach
Fakt
und
Fakt
ist
∇
∑
i
=
1
n
h
i
∂
i
(
∑
j
=
1
r
f
j
s
j
)
=
∑
i
,
j
h
i
∇
∂
i
(
f
j
s
j
)
=
∑
i
,
j
h
i
(
s
j
⊗
∂
i
f
j
+
f
j
∇
∂
i
(
s
j
)
)
=
∑
i
,
j
h
i
s
j
∂
i
f
j
+
∑
i
,
j
,
k
h
i
f
j
Γ
i
j
k
s
k
=
∑
k
(
∑
i
=
1
n
h
i
∂
i
f
k
+
∑
i
,
j
h
i
f
j
Γ
i
j
k
)
s
k
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage