Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangential äquivalent/Jede Karte/Aufgabe/Lösung

Die beiden Kurven sind nach Definition tangential äquivalent, wenn es eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen gibt derart, dass die Gleichheit

${}(\alpha \circ \gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)})'(0)=(\alpha \circ \gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)})'(0)\,$

gilt. Wir müssen zeigen, dass die entsprechende Gleichheit für jede Karte

$\beta \colon U'\longrightarrow V'$

mit ${}P\in U'$ gilt. Dabei ändern sich diese Werte nicht, wenn man zu einer kleineren offenen Umgebung von ${}P$ und einem kleineren offenen Intervall von ${}0$ übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass ${}U=U'$ ist, dass die Bilder von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ in ${}U$ liegen und dass es auf ${}U$ zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

gibt. Dann folgt aus

${}(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung ${}\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort

${}{\begin{aligned}(\alpha _{2}\circ \gamma _{1})'(0)&=((\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\circ (\alpha _{1}\circ \gamma _{1}))'(0)\\&={\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)\right)}\\&={\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\right)}\\&=(\alpha _{2}\circ \gamma _{2})'(0).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe