Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Für eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einen Punkt ${}P\in V$ repräsentiert der umgebende reelle Vektorraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Menge aller möglichen Richtungen in diesem Punkt. Man kann den Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ mit dem Weg

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto P+tv,$

identifizieren, wobei ${}0\in I$ ein reelles Intervall derart ist, dass das Bild der Abbildung in ${}V$ liegt. Diesen Vektorraum nennt man den Tangentialraum im Punkt ${}P$ an ${}V$.

Für die Faser einer differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, in einem regulären Punkt ${}P\in G$ haben wir den Tangentialraum an die Faser durch ${}P$ als Kern des totalen Differentials ${}\left(D\varphi \right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ definiert. Dadurch war der Tangentialraum ein ${}(n-m)$-dimensionaler Untervektorraum des umgebenden Vektorraums ${}\mathbb {R} ^{n}$. Für unseren abstrakten Mannigfaltigkeitsbegriff gibt es einen solchen umgebenden Vektorraum nicht, in dem sich alles abspielt. Dennoch können wir auch für eine Mannigfaltigkeit in jedem Punkt einen Tangentialraum erklären. Dieser wird ein Vektorraum sein (dessen Dimension gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ist), und zu einer differenzierbaren Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten wird das totale Differential in jedem Punkt eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen sein.

Wenn man für einen Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq M$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ heranzieht, so liegt es nahe, diesen ${}\mathbb {R} ^{k}$ als Tangentialraum zu betrachten. In der Tat wird es eine solche Isomorphie geben, doch als Definition ist dieser Ansatz wegen der Abhängigkeit von der gewählten Karte unbrauchbar. Stattdessen arbeiten wir mit Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven.