Differenzierbarkeit/C^n nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir haben

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial (g+{\mathrm {i} }h)}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)$

und analog

$({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P).$

Damit übersetzt sich die Bedingung von Satz in

$({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)={\mathrm {i} }(({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P)).$

Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert die gewünschten Bedingungen

$({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P).$

Zur bewiesenen Aussage