Differenzierbarkeit/Partielle Differenzierbarkeit ist schwach/Beispiel

Wir betrachten die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x,y):={\begin{cases}{\frac {xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}$

Für einen Vektor ${}v=(a,b)$ und einen reellen Parameter ${}s$ erhalten wir auf der Geraden ${}\mathbb {R} v$ die Funktion

$f_{v}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto f(sa,sb)={\frac {sas^{3}b^{3}}{s^{2}a^{2}+s^{6}b^{6}}}={\frac {s^{2}ab^{3}}{a^{2}+s^{4}b^{6}}}.$

Für ${}a\neq 0$ ist der Nenner stets positiv und die Funktion ${}f_{v}$ ist stetig mit dem Wert ${}0$ bei ${}s=0$, und als rationale Funktion in ${}s$ differenzierbar. Für ${}a=0$ ist die Funktion ${}f_{v}$ konstant ${}=0$ und damit ebenfalls differenzierbar. Also existieren in ${}0$ alle Richtungsableitungen zu ${}f$. Die Funktion ${}f$ ist allerdings nicht stetig: Für die Folge ${}(1/n^{3},1/n)$ (die gegen ${}0=\left(0,\,0\right)$ konvergiert) gilt

${}f{\left({\frac {1}{n^{3}}},{\frac {1}{n}}\right)}={\frac {(1/n^{3})(1/n^{3})}{(1/n^{6})+(1/n^{6})}}={\frac {1}{2}}\,,$

aber ${}f(0,0)=0$.