Da
eine
lineare Abbildung
von
nach
ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor
einen Vektor in
.
Nach Voraussetzung haben wir
-
![{\displaystyle {}\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bd3325a06e8bc4c5aa83737756e98d6dde12cd)
(mit den
üblichen Bedingungen
an
).
Insbesondere gilt für
(hinreichend kleines)
-
![{\displaystyle {}\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb076553cb44277e6a4baa7769c696777c542e5)
Also gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312cf5c44e32aaf0920d49ac7138d3291ed8f30a)
da
und der Ausdruck
beschränkt ist.