Dimension/Antistandardvektoren/4/Aufgabe/Lösung

Die Summe der vier Vektoren ist

${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\\3\\3\end{pmatrix}}\,.$

Daher gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$ zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen

${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,$

also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze ${}\mathbb {R} ^{4}$ erzeugt und die Dimension ist ${}4$.

Zur gelösten Aufgabe