Dimension/Erzeugter Raum/1100 usw/2/Aufgabe/Lösung

Da in allen Vektoren zwei Einträge gleich ${}1$ sind, gehören wegen ${}1+1=0$ sämtliche Vektoren zum Kern der durch

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$

gegebenen Linearform. Die Dimension ist also maximal gleich ${}3$. Wir betrachten den dritten, zweiten und den ersten Vektor der Familie, also

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}$

als Matrix. Die ersten drei Zeilen davon bilden eine obere Dreiecksmatrix mit Determinante ${}1$. Also ist der Rang dieser Untermatrix gleich ${}3$ und somit ist die Dimension des erzeugten Raumes

gleich ${}3$.

Zur gelösten Aufgabe