Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Für die andere Richtung verwenden wir Induktion über , wobei die Aussage bei klar ist. Wenn der ganze Raum ist, so ist die Aussage ebenfalls wahr, da dann der Durchschnitt mit dem nulldimensionalen Raum den Punkt selbst herausschneidet. Es sei also nicht der ganze Raum und . Wir können annehmen, dass jede irreduzible Komponente von durch den Punkt verläuft. Für eine Hyperebene durch und gilt, dass der Durchschnitt eine Dimension besitzt, die kleiner als die Dimension von ist, da dies für jede Komponente gilt. Die Induktionsvoraussetzung, angewendet auf , liefert die Behauptung.