Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Für die andere Richtung verwenden wir Induktion über ${}n$, wobei die Aussage bei ${}n=0$ klar ist. Wenn ${}V$ der ganze Raum ist, so ist die Aussage ebenfalls wahr, da dann der Durchschnitt mit dem nulldimensionalen Raum ${}\{P\}$ den Punkt selbst herausschneidet. Es sei also ${}V$ nicht der ganze Raum und ${}Q\notin V$. Wir können annehmen, dass jede irreduzible Komponente von ${}V$ durch den Punkt ${}P$ verläuft. Für eine Hyperebene ${}H$ durch ${}P$ und ${}Q$ gilt, dass der Durchschnitt ${}V\cap H$ eine Dimension besitzt, die kleiner als die Dimension von ${}V$ ist, da dies für jede Komponente gilt. Die Induktionsvoraussetzung, angewendet auf ${}V\cap H\subset H$, liefert die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage