Diophantische Gleichung/Kubiksumme/Quadrat/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung

Als ganzzahlige Lösungen fallen einem und sofort ein. Ferner erhält man mit jeder Lösung neue Lösungen . Man wird also vor allem nach Lösungen mit teilerfremden suchen. Eine nicht unmittelbar naheliegende ganzzahlige, aber nicht positive Lösung ist , es ist ja

oder . Da wir nach ganzzahligen Lösungen suchen, ist die Gleichung äquivalent zu

Im Ring der Eisensteinzahlen ist

Bei , also , gelangt man zur Bedingung

Die Differenz der beiden Faktoren ist . Daraus folgt, dass die Faktoren teilerfremd sind, und daraus folgt

Dies ergibt das Gleichungssystem

und

was aufaddiert auf die Gleichung

bzw.

führt. Mit

ist

eine Pellsche Gleichung, und zwar die (positive) Einheitenbedingung im quadratischen Zahlbereich zu . Die Fundamentaleinheit ist .


Einheit


Einheit


Einheit


Einheit