Diophantische Gleichung/Quadratsumme/Dritte Potenz/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{3}\,.$

Lösungen sind beispielsweise ${}(2,2,2)$ oder ${}(11,2,5)$. Wenn man eine Lösung ${}(x,y,z)$ hat, so kann man das Lösungstupel mit ${}u^{6}$ multiplizieren und erhält wegen

${}(u^{3}x)^{2}+(u^{3}y)^{2}=u^{6}(x^{2}+y^{2})=u^{6}z^{3}=(u^{2}z)^{3}\,$

eine neue Lösung ${}(u^{3}x,u^{3}y,u^{2}z)$. Insbesondere gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn ${}x$ und ${}y$ in einer Lösung einen gemeinsamen Primteiler ${}p$ haben, so kommt er wegen der linken Seite mit einer geraden Vielfachheit und wegen der rechten Seite mit einer durch drei teilbaren Vielfachheit vor. Er kommt also insgesamt mit einer durch sechs teilbaren Vielfachheit vor und man kann den eben beschriebenen Prozess umkehren. Es geht also im Wesentlichen darum, Lösungen für ${}x,y$ teilerfremd zu finden.

Es ist

${}x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)=z^{3}\,$

im Ring der Gaußschen Zahlen. Bei ${}x,y$ teilerfremd ist

${}(x+{\mathrm {i} }y,x-{\mathrm {i} }y)=(2x,2y,x+{\mathrm {i} }y)\,.$

Bei

${}x=y=1\,$

liegt das im Ideal ${}(1+{\mathrm {i} })$. Sonst handelt es sich um das Einheitsideal. Letzterer Fall entspricht keiner Lösung. Also sind ${}x+{\mathrm {i} }y$ und ${}x-{\mathrm {i} }y$ teilerfremd und daher muss jeder Primteiler von ${}z$ in einem der Faktoren inder dirtten Potenz aufgehen. D.h. die bieden Zahlen sind selbst bis auf Einheiten dritte Potenzen. Der Ansatz

${}x+{\mathrm {i} }y=w(a+{\mathrm {i} }b)^{3}\,$

mit einer Einheit ${}w$. Da man die Negation reinziehen kann und man die Rollen von ${}x$ und ${}y$ vertauschen kann, darf man ${}w=1$ annehmen. Das führt auf die beiden Gleichungen ${}x=a^{3}-3ab^{2}=a(a^{2}-3b^{2})$ und ${}y=3a^{2}b-b^{3}=b(3a^{2}-b^{2})$. Man kann also ${}a$ und ${}b$ frei vorgeben. In der Tat ist

${}(a(a^{2}-3b^{2}))^{2}+(b(3a^{2}-b^{2}))^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}\,.$

Sei nun ${}y$ fixiert. Dann gibt es nur endlich viele Teiler ${}b$ von ${}y$, und dies legt auch ${}a$ fest. Bei ${}y=1$ ist ${}b=1$ und es gibt keine Lösung für ${}a$. Der Fall

${}b=-1\,$

führt auf ${}a=0$, was wir ausgeschlossen haben. Bei ${}y=2$ hat man die Lösungen

${}(a,b)=(1,1),(1,-2)\,$

(${}b=-1$ oder ${}b=2$ führen nicht auf eine Lösung). Diese führen auf die Lösungen

${}x=\pm 2,\pm 11\,.$