Wir betrachten die Gleichung
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![{\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=z^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b048352150f164cccb47661c18e689b4fb68e1bb)
Lösungen sind beispielsweise
oder
. Wenn man eine Lösung
hat, so kann man das Lösungstupel mit
multiplizieren und erhält wegen
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![{\displaystyle {}(u^{3}x)^{2}+(u^{3}y)^{2}=u^{6}(x^{2}+y^{2})=u^{6}z^{3}=(u^{2}z)^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8abf7579adb28b8280067f586e0ec86074a523)
eine neue Lösung
. Insbesondere gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn
und
in einer Lösung einen gemeinsamen Primteiler
haben, so kommt er wegen der linken Seite mit einer geraden Vielfachheit und wegen der rechten Seite mit einer durch drei teilbaren Vielfachheit vor. Er kommt also insgesamt mit einer durch sechs teilbaren Vielfachheit vor und man kann den eben beschriebenen Prozess umkehren. Es geht also im Wesentlichen darum, Lösungen für
teilerfremd zu finden.
Es ist
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![{\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)=z^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4955a7d3221d12a20d700da5dc8cd055ab6a884c)
im Ring der Gaußschen Zahlen. Bei
teilerfremd ist
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![{\displaystyle {}(x+{\mathrm {i} }y,x-{\mathrm {i} }y)=(2x,2y,x+{\mathrm {i} }y)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e0892f77b89789e1ad530a06fed8d8e3b9f8ad)
Bei
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![{\displaystyle {}x=y=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54edfd1061011a3a49fd0f3c6f40677d7dc432df)
liegt das im Ideal
. Sonst handelt es sich um das Einheitsideal. Letzterer Fall entspricht keiner Lösung. Also sind
und
teilerfremd und daher muss jeder Primteiler von
in einem der Faktoren inder dirtten Potenz aufgehen. D.h. die bieden Zahlen sind selbst bis auf Einheiten dritte Potenzen. Der Ansatz
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![{\displaystyle {}x+{\mathrm {i} }y=w(a+{\mathrm {i} }b)^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bc325834e920f41135877986853fe822b29307)
mit einer Einheit
. Da man die Negation reinziehen kann und man die Rollen von
und
vertauschen kann, darf man
annehmen. Das führt auf die beiden Gleichungen
und
.
Man kann also
und
frei vorgeben. In der Tat ist
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![{\displaystyle {}(a(a^{2}-3b^{2}))^{2}+(b(3a^{2}-b^{2}))^{2}=(a^{2}+b^{2})^{3}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5037dec6352d30d7d6dc782e1200d919b69adff)
Sei nun
fixiert. Dann gibt es nur endlich viele Teiler
von
,
und dies legt auch
fest. Bei
ist
und es gibt keine Lösung für
. Der Fall
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![{\displaystyle {}b=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e6c940880d2b95fddaf3635f65631317b0de91)
führt auf
,
was wir ausgeschlossen haben. Bei
hat man die Lösungen
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![{\displaystyle {}(a,b)=(1,1),(1,-2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b930a5e85db958139fdc751ae9e3f6d75d16654)
(
oder
führen nicht auf eine Lösung).
Diese führen auf die Lösungen
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![{\displaystyle {}x=\pm 2,\pm 11\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5f88b863c8031be4b68f2bd7dccc698619d5fb)