Diophantische Gleichung/Quadratsumme/Dritte Potenz/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung

Lösungen sind beispielsweise oder . Wenn man eine Lösung hat, so kann man das Lösungstupel mit multiplizieren und erhält wegen

eine neue Lösung . Insbesondere gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn und in einer Lösung einen gemeinsamen Primteiler haben, so kommt er wegen der linken Seite mit einer geraden Vielfachheit und wegen der rechten Seite mit einer durch drei teilbaren Vielfachheit vor. Er kommt also insgesamt mit einer durch sechs teilbaren Vielfachheit vor und man kann den eben beschriebenen Prozess umkehren. Es geht also im Wesentlichen darum, Lösungen für teilerfremd zu finden.



Es ist

im Ring der Gaußschen Zahlen. Bei teilerfremd ist

Bei

liegt das im Ideal . Sonst handelt es sich um das Einheitsideal. Letzterer Fall entspricht keiner Lösung. Also sind und teilerfremd und daher muss jeder Primteiler von in einem der Faktoren inder dirtten Potenz aufgehen. D.h. die bieden Zahlen sind selbst bis auf Einheiten dritte Potenzen. Der Ansatz

mit einer Einheit . Da man die Negation reinziehen kann und man die Rollen von und vertauschen kann, darf man annehmen. Das führt auf die beiden Gleichungen und . Man kann also und frei vorgeben. In der Tat ist

Sei nun fixiert. Dann gibt es nur endlich viele Teiler von , und dies legt auch fest. Bei ist und es gibt keine Lösung für . Der Fall

führt auf , was wir ausgeschlossen haben. Bei hat man die Lösungen

( oder führen nicht auf eine Lösung). Diese führen auf die Lösungen