Direkte Summe/Aufgabe

Es sei ${}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}$ und

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${}\operatorname {Kern} (f)\,$ und ${}\operatorname {Bild} (f)\,$.
2. Finde einen Untervektorraum ${}V\subset \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass ${}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {Kern} (f)\,$ gilt.
3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${}U\subset \mathbb {R} ^{2}$, ${}U\neq \{0\}$, mit ${}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {Bild} (f)\,$?

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