Direkte Summe/N/Summe/Keine Auswertung/Aufgabe

Es sei

${}V=\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\,$

die abzählbar direkte Summe von ${}\mathbb {R}$ mit sich selbst mit der Basis ${}e_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}p_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, die Projektionen

$\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto a_{k}.$

a) Zeige, dass

$\varphi \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}e_{n}\longmapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n},$

eine Linearform auf ${}V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.

b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von ${}V$ in sein Bidual ${}{{V}^{*}}^{*}$ nicht surjektiv ist.

Eine Lösung erstellen