Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. In einem endlichen booleschen Verband besitzt jedes Element ${}x\in B$ eine eindeutige Darstellung der Form

   ${}x=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$

   mit Atomen

   ${}a_{j}$.
2. Es sei ${}A$ eine ${}n$-elementige Menge und ${}B$ eine ${}k$-elementige Menge. Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von ${}A$ nach ${}B$ gleich

   $\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{n}.$

3. Es sei ${}G=(V,E)$ ein Graph mit zugehöriger Adjazenzmatrix ${}A$. Dann ist die Anzahl der Wege von ${}u$ nach ${}v$ der Länge ${}\ell$ gleich dem Eintrag an der Stelle ${}(u,v)$ zur Matrixpotenz ${}A^{\ell }$.

Zur gelösten Aufgabe