\seitenueberschrift{Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)}


\seitenueberschrift{Klausur}


Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071) }
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K= \Z/(59)}{} der Körper mit $59$ Elementen.

a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.

b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.

c) Berechne $2^{29}$ in $K$.

d) Man gebe für jede mögliche \zusatzklammer {multiplikative} {} {} Ordnung in $K^\times$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)}{} in $\Z/(n)$ gilt.

a) $n = 49$.

b) $n = 75$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in
\mathl{\Z/(11)[X]}{} den \zusatzklammer {normierten} {} {} größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
\mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}

b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in
\mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ZX^2 }
{ =} {Y^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene projektive Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem Körper $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$.

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { }
eine wohldefinierte Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{} } { {\mathbb P}^{2}_{} } {} gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.

d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_{}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
\mathdisp {Y^2= X^3-X = X (X+1)(X-1)} { }
gegeben ist, über dem Körper $K=\Z_{13}$.

a) Zeigen Sie:
\mathl{P=(1,0)}{,}
\mathl{Q=(5,4)}{} und
\mathl{R=(8,7)}{} sind Punkte der Kurve.

b) Berechnen Sie
\mathl{P+Q}{.}

c) Berechnen Sie
\mathl{Q+R}{.}

d) Berechnen Sie
\mathl{R+R}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachten Sie die algebraische Kurve über
\mathl{K=\Z/(11)}{,} die durch die affine Gleichung
\mathdisp {Y^2 +3Y+7= X^3+4X^2 +5X+2} { }
gegeben ist.

a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form
\mathdisp {X= r \overline{X}+ s \overline{Y} +t,\, \, Y= u \overline{X}+ v \overline{Y} +w} { }
durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen
\mathl{\overline{X}, \overline{Y}}{} affine Standardgestalt besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.

b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.

}
{} {}