Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur/latex
\seitenueberschrift{Vorlesung zur Diskreten Mathematik für Ingenieure (Bochum 2004)}
\seitenueberschrift{Klausur}
Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071)
}
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K= \Z/(59)}{} der Körper mit $59$ Elementen.
a) Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in $K$.
b) Berechne in $K$ die Zweierpotenzen $2^{4}$, $2^{8}$ und $2^{16}$.
c) Berechne $2^{29}$ in $K$.
d) Man gebe für jede mögliche \zusatzklammer {multiplikative} {} {} Ordnung in $K^\times$ ein Element an, das diese Ordnung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)}{} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(11)[X]}{} den
\zusatzklammer {normierten} {} {}
größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
\mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in
\mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch die homogene Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ZX^2
}
{ =} {Y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene projektive Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$.
a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.
b) Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\varphi: (S,T) \longmapsto \left( T^3 , \, ST^2 , \, S^3 \right) =(X,Y,Z)} { }
eine wohldefinierte Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{} } { {\mathbb P}^{2}_{}
} {}
gegeben ist.
c) Zeige, dass die Bildpunkte von $\varphi$ auf der Kurve $C$ liegen.
d) Welche Punkte in ${\mathbb P}^{1}_{}$ entsprechen den singulären Punkten der Kurve $C$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
\mathdisp {Y^2= X^3-X = X (X+1)(X-1)} { }
gegeben ist, über dem Körper $K=\Z_{13}$.
a) Zeigen Sie:
\mathl{P=(1,0)}{,}
\mathl{Q=(5,4)}{} und
\mathl{R=(8,7)}{} sind Punkte der Kurve.
b) Berechnen Sie
\mathl{P+Q}{.}
c) Berechnen Sie
\mathl{Q+R}{.}
d) Berechnen Sie
\mathl{R+R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachten Sie die algebraische Kurve über
\mathl{K=\Z/(11)}{,} die durch die affine Gleichung
\mathdisp {Y^2 +3Y+7= X^3+4X^2 +5X+2} { }
gegeben ist.
a) Führen Sie eine affine Variablentransformation der Form
\mathdisp {X= r \overline{X}+ s \overline{Y} +t,\, \, Y= u \overline{X}+ v \overline{Y} +w} { }
durch derart, dass die Kurve in den neuen Variablen
\mathl{\overline{X}, \overline{Y}}{} affine Standardgestalt
besitzt. Geben sie diese affine Standardgestalt an.
b) Entscheiden Sie, ob eine elliptische Kurve vorliegt oder nicht.
}
{} {}