Diskrete Metrik/Vollständiger Raum/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}M$. Zu ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2}}\,$

für alle ${}m,n\geq n_{0}$. Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände ${}0$ und ${}1$ möglich sind, muss

${}d(x_{n},x_{m})=0\,$

und damit

${}x_{n}=x_{m}=x_{n_{0}}\,$

für alle ${}m,n\geq n_{0}$

sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index ${}n_{0}$ konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied ${}x_{n_{0}}$ konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe