Diskussion:Bloch-Lorenz-Modell

Beschreibung

Das Bloch-Lorentz-Modell ermöglicht eine semiklassische Beschreibung der Besetzungszahlen und Intensität des Laserlichts. Es lässt sich durch einen Satz von drei gekoppelten Differentialgleichungen charakterisieren, die sich aus den Maxwellgleichungen herleiten lassen.

${\begin{aligned}\partial _{t}F&=-(\kappa +{\textrm {i}}\delta _{c})F+{\textrm {i}}\kappa P\\\partial _{t}P&=-(\gamma _{P}+{\textrm {i}}\delta )P-{\textrm {i}}\gamma _{I}(F\Delta n)\\\partial _{t}\Delta n&=-2\gamma _{I}\Delta n+R+\gamma _{I}\operatorname {Im} (F^{*}P)\end{aligned}}$

wobei folgende Größen verwendet werden:

$F$: Amplitude des elektrischen Feldes

$P$: Amplitude der Polarisation des Laser-Mediums

$\Delta n$: Besetzungsinversion

$R$: externe Pumprate

$\kappa$: Zerfallsrate des Laserfelds

$\gamma _{I}$: Zerfallskonstante der Inversion

$\gamma _{P}$: Zerfallskonstante der Polarisation

$\delta _{c}$: Verstimmung zwischen elektrischen Feld und Laser-Resonator

$\delta$: Verstimmung zwischen elektrischen Feld und Resonanz des Laser-Mediums (zwei-Niveau-System)

Herleitung

Dynamik der elektrischen Feldamplitude

Die Gleichungen des Bloch-Lorenz-Modells aus einer Kombination der optischen Bloch-Gleichungen und den Maxwell-Gleichungen herleiten. Verbindet man makroskopisches Induktionsgesetz und Durchflutungsgesetz mit ${\boldsymbol {D}}=\epsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}$ und der Magnetisierung ${\boldsymbol {M}}=0$ erhält man die Wellengleichung mit Polarisation ${\boldsymbol {P}}$

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right){\boldsymbol {E}}=-{\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\boldsymbol {P}}$

Mit dem Brechungsindex $n$ des Mediums im Resonator. Wir wählen das elektrische Feld mit einfacher Mode ${\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)=E(t){\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {r}})+h.c.$ wobei die Modenfunktion ${\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {r}})$ den Resonator ohne Polarisation beschreibt und erfüllt die Helmholtz-Gleichung

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {n^{2}\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {r}})$

Die Frequenz $\omega _{c}$ ist die Eigenfrequenz des Resonators. Wählt man die selbe Zerlegung für die Polarisation wie für das elektrische Feld lässt sich die Ortsabhängigkeit der Felder eliminieren

$\left({\frac {n^{2}\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {n^{2}}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)E(t)={\frac {1}{\epsilon _{0}c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\mathcal {P}}(t)$

Eine weitere Zerlegung trennt die zeitabhängige Amplitude $F(t)$ von der Oszillation des Laserfeldes bei $\omega _{L}$. Nun wird die Feldamplitude im Resonator durch die Auskopplung und Absorbtion gedämpft und $\partial _{t}F(t)=-\kappa F(t)$

$\left(\omega _{c}^{2}+2\kappa \partial _{t}+\partial _{t}^{2}\right)F(t){\textrm {e}}^{-{\textrm {i}}\omega _{L}t}=-{\frac {1}{\epsilon _{0}n^{2}}}\partial _{t}^{2}P(t){\textrm {e}}^{-{\textrm {i}}\omega _{L}t}$

Auf der linken Seite können die Terme $\kappa {\textrm {e}}^{-{\textrm {i}}\omega _{L}t}\partial _{t}F(t)$ und ${\textrm {e}}^{-{\textrm {i}}\omega _{L}t}\partial _{t}^{2}F(t)$ unter der Annahme, dass die Amplitude sich langsam im Vergleich zur Laserfeldoszillation verändert (slowly varying envelope approximation). Es verbleibt

$-2{\textrm {i}}\omega _{L}\partial _{t}F(t)=-\left(\omega _{c}^{2}-\omega _{L}^{2}-{\textrm {i}}\omega _{L}\kappa \right)F(t)+{\frac {\omega _{L}^{2}}{n^{2}\epsilon _{0}}}P(t)$

wobei für die Polarisation ebenfalls approximiert wurde, dass $(-\omega _{L}^{2}-2{\textrm {i}}\omega _{L}\partial _{t}+\partial _{t}^{2})P\approx -\omega _{L}^{2}P$. Die obige Formel für die Amplitude des elektrischen Feldes wird mit $\omega _{c}^{2}-\omega _{L}^{2}\simeq 2\omega _{L}(\omega _{c}-\omega )=2\omega _{L}\delta _{c}$ bis auf den Faktor vor $P$ erhalten.

$\partial _{t}F(t)=-\left(\kappa +{\textrm {i}}\delta _{c}\right)F(t)+{\textrm {i}}{\frac {\omega _{L}}{2n^{2}\epsilon _{0}}}P(t)$

Dynamik der Polarisationsamplitude

Die Polarisationsdichte des Mediums, ohne Interaktion mit den eigenen Dipolmomenten, kann mit der Anzahldichte $N({\boldsymbol {r}})$ und dem gemittelten elektrischen Dipolmomenten $\langle {\boldsymbol {d}}(t)\rangle$ durch ${\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {r}},t)=N({\boldsymbol {r}})\langle {\boldsymbol {d}}(t)\rangle$ ausgedrückt werden. Unter der Annahme, dass die Zweiniveausysteme im Resonator homogen verteilt sind, lässt sich eine ortsunabhängige Zweiniveaudichte $N_{0}$ verwenden. Die Polarisationsdichte wird durch das elektrische Feld als positiv und negativ rotierende Größe und kann in der rotating frame approximation (Drehwellennäherung) als

${\boldsymbol {P}}=\underbrace {N_{0}d_{ge}\rho _{eg}(t)} _{P^{(+)}}{\textrm {e}}^{-{\textrm {i}}\omega _{L}t}{\hat {\textrm {e}}}_{E}+{\text{c.c.}}$

gegeben. Hier ist $d_{ge}=\langle g|{\boldsymbol {d}}|e\rangle$ das Dipolmatrixelement, $\rho _{eg}$ das Dichtematrixelement des Zweiniveau-Übergangs und ${\hat {\textrm {e}}}_{E}$ die Richtung des elektrischen Feldes. Für die Dynamik der Amplitude der Oszillation ist es ausreichend ${\dot {P}}^{(+)}$ zu betrachten, da ${\dot {P}}^{(-)}=({\dot {P}}^{(+)})^{*}$ gilt. Für die Zeitableitung ${\dot {\rho }}_{eg}$ werden die Bloch-Gleichungen im rotating frame approximation verwendet.

${\dot {\rho }}_{eg}=-(\gamma _{P}+{\textrm {i}}\delta )\rho _{eg}+{\textrm {i}}{\frac {\Omega }{2}}(\rho _{ee}-\rho _{gg})$

Mit der Verstimmung zwischen Laserfeld und Atomübergang $\delta =\omega _{eg}-\omega _{L}$ und der Rabifrequenz $\Omega =2d_{ge}^{*}F/\hbar$. Die diagonalen Matrixelemente $\rho _{ee}$ und $\rho _{gg}$ als Differenz geben die Inversion des Mediums $(-\Delta n)$ an. Damit wird die Form der obigen Gleichung für die Amplitude der Polarisation erhalten:

${\dot {P}}^{(+)}=-(\gamma _{P}+{\textrm {i}}\delta )P^{(+)}-{\textrm {i}}{\frac {|d_{ge}|^{2}}{\hbar }}F\Delta n$

Beispiel

Hier ein erstes Bild: dazu erst einloggen und über commons.wikimedia.org die Grafik hochladen. Der Dateiname (hier ganz lakonisch Beispiel_01.png) kann dann mit Datei:Beispiel_01.png|420px|rahmenlos|links verlinkt werden.

Stabilitätsanalyse

Es wird der Fall konstanter Inversion angenommen. Das Gleichungssystem reduziert sich auf zwei Gleichungen.

${\begin{aligned}\partial _{t}F&=-(\kappa +{\textrm {i}}\delta _{c})F+{\textrm {i}}\kappa P\\\partial _{t}P&=-(\gamma _{P}+{\textrm {i}}\delta )P-{\textrm {i}}\gamma _{I}\Delta nF\\\end{aligned}}$

Das System besitzt einen Fixpunkt bei $(F^{*}=0,P^{*}=0)$ und ist bereits linear, da die Inversion $\Delta n$ eine Konstante ist. Mit Hilfe eines Phasenportraits wird die Stabilität des Fixpunktes überprüft, welcher in diesem Fall gewählter Parameter stabil ist. (Für die Portraits sind nur reelle Werte für F und P eingesetzt worden.)

Die Stabilität des Fixpunkts ergibt sich aus den Eigenwerten $\mu _{1,2}$ der $2\times 2$ Matrix

${\begin{pmatrix}-(\kappa +{\rm {i}}\delta _{c})&{\rm {i}}\kappa \\-{\rm {i}}\gamma _{I}\Delta n&-(\gamma _{P}+{\rm {i}}\delta )\end{pmatrix}}\rightarrow \mu _{1,2}=-{\tfrac {1}{2}}(\kappa +{\rm {i}}\delta _{c}+\gamma _{P}+{\rm {i}}\delta )\pm {\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\kappa +{\rm {i}}\delta _{c}-\gamma _{P}-{\rm {i}}\delta )^{2}+4\kappa \gamma _{I}\Delta n{\Big ]}^{1/2}$

Wenn die Wurzel (im Realteil) “groß genug” wird, wird $\mu _{1}$ einen positiven Realteil haben: instabiler Fixpunkt. Dazu wählt man am besten $\delta _{c}-\delta =0$, weil das Quadrat unter der Wurzel negativ beiträgt. Für diesen Fall tritt Instabilität auf, wenn

${\tfrac {1}{4}}(\kappa +\gamma _{P})^{2}<{\tfrac {1}{4}}(\kappa -\gamma _{P})^{2}+\kappa \gamma _{I}\Delta n\quad \rightarrow \quad \kappa \gamma _{P}<\gamma _{I}\Delta n={\tfrac {1}{2}}\kappa R$

Bad Cavity Limit

Wenn im Resonator die Verlustrate $\kappa$ stark anwächst, kann die Amplitude des Laserfelds durch eine stationäre Gleichung beschrieben werden:

${\begin{aligned}F={\frac {{\textrm {i}}\kappa P}{\kappa +{\textrm {i}}\delta _{C}}}\end{aligned}}$

So vereinfachen sich die oben genannten Differentialgleichungen zu

${\begin{aligned}\partial _{t}F&=0\\\partial _{t}P&=-(\gamma _{P}+{\textrm {i}}\delta )P+\gamma _{I}{\frac {\kappa P\Delta n}{\kappa +{\textrm {i}}\delta _{C}}}\\\partial _{t}\Delta n&=-2\gamma _{I}\Delta n+R-\gamma _{I}{\frac {\kappa ^{2}P^{2}}{\kappa ^{2}+\delta _{C}^{2}}}\end{aligned}}$

Diese Näherung erweist sich nur für gewisse Werte $\kappa$ als sinnvoll. Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils auf der rechten Seite die Bad-Cavity-Approximation für verschiedene Verlustraten.

$\kappa =1$

$\kappa =9$

$\kappa =12$

Vergleich zum Lorenz-System und Übergang ins Chaos

In diesem Abschnitt werden die Gleichungen des Bloch-Lorenz-Modells mit dem Gleichungssystem des Lorenz-Attraktors verglichen. Die Lorenzgleichungen sind in ihrer dimensionsloser Darstellung ein System aus drei gekoppelten, nichtlinearen Differentialgleichungen.

${\begin{aligned}\partial _{t}x&=\sigma (y-x)\\\partial _{t}y&=x(\rho -z)-y\\\partial _{t}z&=xy-\beta z\end{aligned}}$

Die Parameter $\sigma ,\rho ,\beta$ sind Konstanten, die das Verhalten des Systems bestimmen und bei geeigneter Wahl einen seltsamen Attraktor entstehen lassen.

Ein direkter Vergleich zwischen dem Lorenz-System und dem hier gegebenen Bloch-Lorenz-Modell ist nicht ohne weiteres möglich. Das Lorenz-System besitzt drei reelle Variablen und drei reelle Parameter, während das Bloch-Lorenz-Modell aus einer reellen Größe $\Delta N$, zwei komplexen Größen $F,P$ und sechs reellen Parametern $\kappa ,\gamma _{P},\gamma _{I},\delta _{c},\delta ,R$ besteht. Daher wird in einem ersten Schritt das Bloch-Lorenz-Modell in fünf reelle Gleichungen umgeformt.

Dabei wird mit der folgende Notation die Gleichung skaliert.

${\begin{aligned}{\frac {1}{\kappa }}\partial _{t}F&=-(1+{\textrm {i}}\theta )F+{\textrm {i}}P\\{\frac {1}{\gamma _{P}}}\partial _{t}P&=-(1+{\textrm {i}}\vartheta )P-{\textrm {i}}F\Delta n\\{\frac {1}{\gamma _{I}}}\partial _{t}\Delta n&=-2\Delta n+\Delta n_{0}+\operatorname {Im} (F^{*}P)\end{aligned}}$

Mit den skalierten Größen, der Verstimmung des Resonators zum Laserfeld $\theta ={\frac {\omega _{c}-\omega _{L}}{\kappa }}$, der Verstimmung der Medium-Resonanz zum Laserfeld $\vartheta ={\frac {\omega _{0}-\omega _{L}}{\gamma _{P}}}$ und skalierter Pumprate $\Delta n_{0}=R/\gamma _{I}$.

Anschließend werden die Variablen in komplexer Schreibweise eingesetzt $F=(F'+{\textrm {i}}F'')$ ; $P=(P'+{\textrm {i}}P'')$ und die Gleichungen können über die fünf reellen Variablen dargestellt werden.

${\begin{aligned}{\frac {1}{\kappa }}\partial _{t}F'+\theta F''&=-P''-F'\\{\frac {1}{\kappa }}\partial _{t}F''-\theta F'&=P'-F''\\{\frac {1}{\gamma _{P}}}\partial _{t}P'+\vartheta P''&=-P'-F''\Delta n\\{\frac {1}{\gamma _{P}}}\partial _{t}P''-\vartheta P'&=-P''-F'\Delta n\\{\frac {1}{\gamma _{I}}}\partial _{t}\Delta n&=-2\Delta n+\Delta n_{0}+F'P''-F''P'\end{aligned}}$

Nun wird unter der Annahme einer reellen Amplitude des elektrischen Feldes $F''=0$ die zweite Bedingung algebraisch mit $P'=-\theta F'$. Ohne Verstimmungen $\theta ,\vartheta =0$ wird $P'$ über die dritte Gleichung von ihrem Anfangswert exponentiell Abklingen und durch fehlende Kopplung mit den anderen Gleichungen lässt sich $P'=0$ motivieren.

Es verbleiben drei Gleichungen

${\begin{aligned}{\frac {1}{\kappa }}\partial _{t}F'&=-P''-F'\\{\frac {1}{\gamma _{P}}}\partial _{t}P''&=-P''-F'\Delta n\\{\frac {1}{\gamma _{I}}}\partial _{t}\Delta n&=-2\Delta n+\Delta n_{0}+F'P''\end{aligned}}$

Eine Reduktion der Parameter ist noch über das Einführen einer neuen Zeit $\tau =t/\gamma _{P}$ möglich. Es verbleiben ${\tilde {\kappa }}=\kappa /\gamma _{P}$ und ${\tilde {\gamma }}=\gamma _{P}/\gamma _{I}$

Further soon