Division mit Rest/Z/Betragsrest/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Division mit Rest in ${}\mathbb {Z}$ gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q$ und ${}r$ mit

${}0\leq r<d\,$

mit

${}n=qd+r\,.$

Bei

${}r\leq {\frac {d}{2}}\,$

ist die Existenz bewiesen. Bei

${}r>{\frac {d}{2}}\,$

setzt man

${}s:=r-d\,.$

Es ist dann

${}0>s=r-d>{\frac {d}{2}}-d=-{\frac {d}{2}}\,$

und

${}n=qd+r=(q+1)d+r-d=(q+1)d+s\,$

ergibt die Existenz. Aus zwei Darstellungen

${}kd+s=n=\ell d+t\,$

mit ${}s\geq t$ ergibt sich

${}0=(k-\ell )d+s-t\,$

mit

${}0\leq s-t<d\,$

und die Eindeutigkeit in der Division mit Rest sichert die Eindeutigkeit in der vorliegenden Form.

Zur gelösten Aufgabe