Division mit Rest/Z/Ohne Beweis/Untergruppen/Textabschnitt
Zu einer ganzen Zahl ist die Menge
aller Vielfachen von eine Untergruppe von . Wir wollen zeigen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen diese Gestalt besitzt, also von einem Element erzeugt wird.
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
Zur Existenz. Bei ist eine Lösung. Es sei positiv. Da positiv ist, gibt es ein Vielfaches . Daher gibt es auch eine Zahl mit und . Es sei . Dann ist
und daher ist wie gewünscht. Bei negativ kann man schreiben nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich
Im zweiten Fall erfüllen
und
die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Es sei , wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung . Dann gilt . Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , sodass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.
In der Notation des vorstehenden Satzes soll an Quotient und an Rest erinnern. Die Division mit Rest kann man auch so verstehen, dass man jede rationale Zahl als
schreiben kann, wobei die größte ganze Zahl bedeutet und der rationale Rest die Bedingungen erfüllt. In dieser Form kann man auch eine Division mit Rest für jede reelle Zahl aus den Axiomen der reellen Zahlen beweisen.
Die Untergruppen von sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl .
Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Es sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Es sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt
Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .