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Division mit Rest (Polynomring)/C/1/Aufgabe/Lösung
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Division mit Rest (Polynomring)/C/1/Aufgabe
Es ist
P
−
X
2
T
=
X
4
+
i
X
3
+
X
2
+
(
1
−
3
i
)
X
+
3
−
X
2
(
X
2
+
(
1
−
i
)
X
+
2
)
=
(
−
1
+
2
i
)
X
3
−
X
2
+
(
1
−
3
i
)
X
+
3
=
P
~
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}P-X^{2}T&=X^{4}+{\mathrm {i} }X^{3}+X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-X^{2}{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3\\&={\tilde {P}}.\end{aligned}}}
Ferner ist
P
~
−
(
−
1
+
2
i
)
X
T
=
(
−
1
+
2
i
)
X
3
−
X
2
+
(
1
−
3
i
)
X
+
3
−
(
−
1
+
2
i
)
X
(
X
2
+
(
1
−
i
)
X
+
2
)
=
(
−
2
−
3
i
)
X
2
+
(
3
−
7
i
)
X
+
3
=
P
^
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {P}}-(-1+2{\mathrm {i} })XT&=(-1+2{\mathrm {i} })X^{3}-X^{2}+(1-3{\mathrm {i} })X+3-(-1+2{\mathrm {i} })X{\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3\\&={\hat {P}}\end{aligned}}}
und
P
^
−
(
−
2
−
3
i
)
T
=
P
^
+
(
2
+
3
i
)
T
=
(
−
2
−
3
i
)
X
2
+
(
3
−
7
i
)
X
+
3
+
(
2
+
3
i
)
(
X
2
+
(
1
−
i
)
X
+
2
)
=
(
8
−
6
i
)
X
+
7
+
6
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\hat {P}}-(-2-3{\mathrm {i} })T&={\hat {P}}+(2+3{\mathrm {i} })T\\&=(-2-3{\mathrm {i} })X^{2}+(3-7{\mathrm {i} })X+3+(2+3{\mathrm {i} }){\left(X^{2}+(1-{\mathrm {i} })X+2\right)}\\&=(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}
Somit ist
P
=
(
X
2
+
(
−
1
+
2
i
)
X
+
(
2
+
3
i
)
)
T
+
(
8
−
6
i
)
X
+
7
+
6
i
.
{\displaystyle {}P=(X^{2}+(-1+2{\mathrm {i} })X+(2+3{\mathrm {i} }))T+(8-6{\mathrm {i} })X+7+6{\mathrm {i} }\,.}
Zur gelösten Aufgabe