Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen

Einführung

Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes.

Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen

Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: $R_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}cos(\phi )&0&sin(\phi )\\0&1&0\\-sin(\phi )&0&cos(\phi )\end{pmatrix}}$ Hierbei ist $\phi$ der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist $\phi$ = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: $x={\frac {\alpha }{180}}\cdot \pi$. $\alpha$ ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für $\alpha$ ein. $x={\frac {5}{180}}\cdot \pi$ ≈ $0,09075$

Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2

$R_{y}(0,09075)={\begin{pmatrix}cos(0,09075)&0&sin(0,09075)\\0&1&0\\-sin(0,09075)&0&cos(0,09075)\end{pmatrix}}$ ≈ ${\begin{pmatrix}1&0&0,091\\0&1&0\\-0,091&0&1\end{pmatrix}}$

Jetzt multipliziert man die Matrix $R_{z}(0.0975)$≈ ${\begin{pmatrix}1&0&0,091\\0&1&0\\-0,091&0&1\end{pmatrix}}$ mit $(g(x)+f(x))={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ und addiert darauf die Funktion $h(x)+t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2

So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der $x_{3}$ -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein.

Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3

Die endgültige Funktion lautet dann: E(x)= ${\begin{pmatrix}0,53\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+15\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+15\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)-0,91\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Anhang

Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)