Drei Kugeln/Wurstpackung und Pizzapackung/Aufgabe/Lösung

a) Die Gesamtpackung setzt sich aus zwei Halbkugeln mit Radius ${}1$ und einem Zylinder der Höhe ${}4$ über einem Kreis mit Radius ${}1$ zusammen. Daher ist das Volumen gleich

${}{\frac {4}{3}}\pi +4\pi ={\frac {16}{3}}\pi \,.$

b) Wir wenden das Cavalieri-Prinzip an und betrachten den Querschnitt zur Höhe ${}h$, ${}-1\leq h\leq 1$. Der Kugelquerschnitt besteht aus drei Kugeln mit Radius ${}r={\sqrt {1-h^{2}}}$, deren Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge ${}2$ bilden. Wir müssen den Flächeninhalt des durch die Folie gegebenen (abgerundeten) Querschnittsdreiecks bestimmen. Die Kantenlänge des zugehörigen spitzen Dreieckes ist ${}2+2{\sqrt {3}}r$. Daher ist der Flächeninhalt dieses Dreieckes gleich

${}{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\left(2+2{\sqrt {3}}r\right)}^{2}={\sqrt {3}}{\left(1+{\sqrt {3}}r\right)}^{2}={\sqrt {3}}+6r+3{\sqrt {3}}r^{2}\,.$

Davon müssen wir die Spitzen (über den Kreisbögen) abziehen. Eine solche Spitze ergibt sich als Flächeninhalt des Vierecks, das durch Kreismittelpunkt, Dreiecksspitze und die beiden tangentialen Punkte gegeben ist, ohne einen Drittelkreis. Das ergibt ${}{\sqrt {3}}r^{2}-{\frac {\pi }{3}}r^{2}$. Der Flächeninhalt des abgerundeten Dreiecks ist also

${}{\begin{aligned}{\sqrt {3}}+6r+3{\sqrt {3}}r^{2}-3{\left({\sqrt {3}}r^{2}-{\frac {\pi }{3}}r^{2}\right)}&={\sqrt {3}}+6r+\pi r^{2}\\&={\sqrt {3}}+6{\sqrt {1-h^{2}}}+\pi {\left(1-h^{2}\right)}\\&={\sqrt {3}}+\pi +6{\sqrt {1-h^{2}}}-\pi h^{2}.\end{aligned}}$

Das Volumen der Dreieckspackung ist somit

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {3}}+\pi +6{\sqrt {1-h^{2}}}-\pi h^{2}dh&=2{\left({\sqrt {3}}+\pi \right)}+3\pi -\pi {\frac {2}{3}}\\&=2{\sqrt {3}}+{\frac {13}{3}}\pi .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe