Dreieck/Höhe/Bedingungen/Aufgabe/Lösung

Die Dreiecksseite gegenüber von ${}(0,1)$ liegt auf der ${}x$-Achse, die weiteren Punkte haben also die Form ${}(a,0)$ und ${}(b,0)$.

1. Bei einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck bilden die Schenkel den rechten Winkel. Daher ist ${}b=-a$ und die Schenkel müssen mit der ${}y$-Achse einen Winkel von ${}45$ Grad einschließen. Somit sind ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ die weiteren Eckpunkte.
2. In diesem Fall muss die Höhe eine Dreiecksseite sein. Daher ist ${}(0,0)$ ein Eckpunkt und wegen der Gleichschenkligkeit ist ${}(1,0)$ (oder ${}(0,1)$) der weitere Eckpunkt.
3. Wegen der Symmetrie in einem gleichseitigen Dreieck ist ${}b=-a$ und die Bedingung der Gleichseitigkeit

   ${}{\sqrt {1+a^{2}}}=2a\,$

   führt auf

   ${}1+a^{2}=4a^{2}\,,$

   also

   ${}a^{2}={\frac {1}{3}}\,$

   und somit

   ${}a={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

   Die weiteren Punkte sind also ${}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)$ und ${}\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)$.

Zur gelösten Aufgabe